문제
가로 길이가 Wcm, 세로 길이가 Hcm인 직사각형 종이가 있습니다. 종이에는 가로, 세로 방향과 평행하게 격자 형태로 선이 그어져 있으며, 모든 격자칸은 1cm x 1cm 크기입니다. 이 종이를 격자 선을 따라 1cm × 1cm의 정사각형으로 잘라 사용할 예정이었는데, 누군가가 이 종이를 대각선 꼭지점 2개를 잇는 방향으로 잘라 놓았습니다. 그러므로 현재 직사각형 종이는 크기가 같은 직각삼각형 2개로 나누어진 상태입니다. 새로운 종이를 구할 수 없는 상태이기 때문에, 이 종이에서 원래 종이의 가로, 세로 방향과 평행하게 1cm × 1cm로 잘라 사용할 수 있는 만큼만 사용하기로 하였습니다.
가로의 길이 W와 세로의 길이 H가 주어질 때, 사용할 수 있는 정사각형의 개수를 구하는 solution 함수를 완성해 주세요.
제한사항
• W, H : 1억 이하의 자연수
예시
가로가 8, 세로가 12인 직사각형을 대각선 방향으로 자르면 총 16개 정사각형을 사용할 수 없게 됩니다. 원래 직사각형에서는 96개의 정사각형을 만들 수 있었으므로, 96 - 16 = 80 을 반환합니다.
정답
# 최대 공약수 구하는 함수
def gcd_f(a,b):
while b != 0: # 나머지가 0이 될 때까지 반복
a, b = b, a%b
return a
def solution(w,h):
gcd = gcd_f(w,h) # 최대공약수
not_use = w+h-gcd # 못 쓰는 사각형 ((w/gcd + h/gcd-1)*gcd)
answer = w*h-not_use # 전체 사각형 - 못 쓰는 사각형
return answer
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풀이
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우선 예시를 살펴보면 못 쓰는 사각형의 형태가 4개 반복된다는 것을 확인할 수 있다.
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이는 양변의 길이가 8:12인데 2:3을 각각 4배씩 확장한 형태이기 때문이다. 다시 말해서 총 못 쓰는 사각형의 개수는 양변의 길이를 각각 최대 공약수로 나눴을 때 나오는 사각형에서 나오는 못 쓰는 사각형에 최대 공약수를 곱하면 된다. 수식으로 보면 이해가 될 것.
총 못 쓰는 사각형의 개수 = 최대공약수로 나눈 사각형의 못 쓰는 사각형 * 최대 공약수
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따라서 가장 먼저 필요한 것은 최대 공약수를 구하는 함수이다.
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# 최대 공약수 구하는 함수
def gcd_f(a,b):
while b != 0: # 나머지가 0이 될 때까지 반복
a, b = b, a%b
return a
Python
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그 다음 구해야 하는 것은 최대 공약수로 나눈 사각형의 못 쓰는 사각형의 개수이다.
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못 쓰는 사각형의 개수는 대각선이 지나가는 사각형의 개수와 동일하다. 그러면 대각선이 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 갈 때까지 지나가는 데에 필요한 사각형의 개수를 구할 수 있으면 된다.
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왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 가려면 (세로 길이 + 가로 길이 - 1) 만큼 칸을 지나가야 한다.
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예시의 사각형을 살펴보자. (최대 공약수로 나눈 사각형)
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왼쪽 끝에서 오른쪽 끝으로 가기 때문에 무조건 가로 개수만큼은 건너가야 한다.
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그리고 맨 위에서 맨 아래로 가기 때문에 무조건 세로 개수만큼은 건너가야 한다.
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그리고 겹치는 구간이 있기 때문에 1을 빼주어야 한다.
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따라서 예시에서 못 쓰는 사각형의 총 개수를 구해보면
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우선 8과 12의 최대 공약수는 4이다. 그러면 각 변의 길이를 최대 공약수로 나누면 2:3이고 2:3의 사각형에서 못 쓰는 사각형의 개수는 (2+3-1) = 4이다. 그리고 최대 공약수를 곱하면 16이다.
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이를 함수로 정리하면 다음과 같다.
def solution(w,h):
gcd = gcd_f(w,h) # 최대공약수
not_use = w+h-gcd # 못 쓰는 사각형 ((w/gcd + h/gcd-1)*gcd)
answer = w*h-not_use # 전체 사각형 - 못 쓰는 사각형
return answer
Python
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