누적분포함수(cdf)와 확률밀도함수(pdf)

1. 누적분포함수(Cumulative Distribution Function)

누적분포함수(Cumulative Distribution Function)는 확률변수가 특정 값보다 작거나 같을 확률을 나타낸다.

F_X(x)=P(X\le x)

임의의 함수

F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

•

FFF는 어떤 확률 변수의 누적 분포 함수이다.

•

다음 조건들을 만족시킨다.

◦

(증가 함수) 만약, x,y∈Rx,y \in \mathbb{R}x,y∈R 이며 x≤yx\le yx≤y 라면, F(x)≤F(y)F(x)\le F(y)F(x)≤F(y)

◦

(우연속 함수) 임의의 x∈Rx \in \mathbb{R}x∈R 에 대하여, F(x+)=F(x)F(x^+) = F(x)F(x+)=F(x)

◦

F(−∞)=0F(-\infty) = 0F(−∞)=0

◦

F(∞)=1F(\infty) = 1F(∞)=1 

확률 변수 또는 확률 벡터의 누적 분포 함수는 그 확률 분포를 유일하게 결정한다.

그러나 누적 분포 함수는 확률 변수 자체를 유일하게 결정하지는 않는다.

누적분포함수를 미분한 것이 확률밀도함수(Probability Distribution Function)로 연속형 확률변수의 분포를 나타낸다.

확률변수에 대해 누적분포함수는 항상 존재한다. 하지만 이와 달리 확률분포함수는 다음과 같이 적분 조건(piecewise continuous)을 만족해야 한다.

F_X(x)=P(X\le x)=\int^x_{-\infin}f_X(t)dt

이산형 확률변수와 달리 연속형 확률변수의 경우 특정값의 확률은 0이다.

P(X=a)=0

하지만 확률분포함수를 사용하면 다음과 같이 연속형 확률변수가 특정 구간에 속할 확률을 나타낼 수 있다.

P(a \le X \le b)=\int^b_af_X(t)dt